斜拋運動-探討單擺擺角與射程的關係

不管是電影,動畫,漫畫等作品中,偶爾都會看到作品中的人物在森林裡拉著藤蔓或是繩索,然後從一端盪到另一端,並抓住藤蔓,然後在盪到下一段的藤蔓。有時在馬戲團的特技表演中,也會看到表演者在數條繩索間擺盪並做出特技動作。

在從繩索的一段盪到另一端盪到另一端並且抓住另一端繩索之前,屬於斜拋運動,而斜拋運動與發射時與水平面的夾角有關,故若要求得最大射程時,必須先研究出發射角度與垂直,水平軸方向速度和時間等等變數的關係。

而本文所探討的,擺蕩者抓住繩索到放開繩索沿切線方向射出時,繩索的擺盪會類似於鐘擺擺盪,還會牽涉到位能與動能的關係,和不同瞬間與地面高度的變化,所以會比一般的斜拋運動複雜許多。因此本文將以此問題為探討對象做研究。

一,問題分析

 

如圖,現在已知繩索長L,在擺線與地面垂直時,也就是切線為水平線時,切線速度會等於V1,求當繩索與垂直軸的張開角度為多少時,射程會是最大。

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二,物理,數學推導

 

(一)最大高度

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首先先算出繩索最高可以盪到多高,如圖:

設盪到最高點時的角度為θ 2 ,此時離地高度為h。因為已經達到最高點,所以此時的位能會等於在最低點時的動能。由最高點位能等於最低點動能可得此算式:

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(二) 發射角度

 

由於繩索與垂直軸的夾角不同時,切線方向與水平線的夾角也會不同,所以必 須求出繩索與垂直軸的夾角和切線方向與水平線的夾角 的關係。推導如下:

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角ABC+θ1  =角ACD+ θ3  , 角ACD為直角=角ABC ,  θ1  =  θ3

(三),切線速度

由於當繩索擺盪到越高的地方時,位能就會增加,動能就會下降,也因為如此
,當高度越高時,切線速度就會越低。所以必須求出繩索與垂直軸的夾角與切線速度
的關係。推導如下:

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設夾角為θ 1 時,切線速度為V n 。由於在單擺中,每一點的動能加上位能皆會等
於一定值,所以夾角為θ 1 切線速度的推導過程如下:
在P點的動能加上P點的位能會等於繩索與垂直軸的夾角為零時的動能
所以用數學是來表示的話算式為:

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三,斜拋運動

設物體發射初速為 k,落地時速度為w,全程時間t,由於在空中,物體速度只會受到
重力加速度影響 ,所以用向量表示為:

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畫圖表示:

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三角形面積=0.5(AC)(BD)=0.5(k Cos[ θ])(gt)
k Cos[ θ]即為發射速度的水平方向速度
三角形面積即為 (0.5)g(k Cos[ θ])(t) =(0.5)gR ,R即為射程= (k Cos[ θ])(t)
g為常數,所以當三角形面積越大,射程就越大。
三角形面積的另一種計算方法:
(0.5)(AB)(BC)Sin[ABC]=0.5 k w Sin[ABC]
由於k w皆為定值,因此為使三角形面積最大,要使Sin為最大值。Sin最大值為
1,此時角度為90度 ,也就是說,落地瞬間的速度方向垂直於發射瞬間的速度
方向,其射程為最遠。
當角ABC=度,角ACB=q,tan q=k/w

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出現最遠射程時的發射角度是:

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將剛才求出來的,夾角和切線速度關係函數帶入k,得:

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但由於等號兩邊皆有角度,應該要把角度整理出來才能算是有算出函數,
由於計算複雜,因此直接帶入數學軟體Mathematica做計算
這裡使用軟體內建函數-Solve來求解
但沒想到直接將方程式帶入程式中,會無法求解,並出現一些錯誤信息,如圖:

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但由於等號兩邊皆有角度,應該要把角度整理出來才能算是有算出函數,
由於計算複雜,因此直接帶入數學軟體Mathematica做計算
這裡使用軟體內建函數-Solve來求解
但沒想到直接將方程式帶入程式中,會無法求解,並出現一些錯誤信息,如圖:

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這裡角度使用弧度法,現在將數值轉換為度數以方便閱覽比較。
0.304435=17.44284度
0.729824=41.81583度
0.77114=44.18306度
0.784824=44.96710度
0.785255=44.991798度

由以上計算可知,當速度越快時,所求得的角就會越接近45度,初速越慢,就越會
比45度小 。

由這些計算可得知,平常大家都說45度時射程最遠,但那是從平面丟出,並且回到平面才會成立的,如果是從有高度的地方丟出去,則角度會小於45度,而且速度越快,差異就越少。

同時也得知,目前數學仍有許多問題無法求解,就像本題,雖然有很明確的求解目標,但卻求不出精確解 ,只能透過帶入數值後,以逼近的方式求出近似解,而不能使用三角函數,或是根號和次方的組合來精確的表示出解 ,顯示出目前的數學對於要求出含有超越函數的方程式的解析解非常的困難,大多只能透過逼近的方式來求解  。而本題已經求到最後的地方了,就是因為無法求出解析解而使得很難透過話函數圖來觀察值的變化,實屬可惜。


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